Uma geladeira/ar condicionado/lava-roupas 220v gasta menos energia que uma de 110v?

Não.

A potência consumida de um eletrodoméstico é medida em QuiloWatts-hora (KWh).

Esta medida independe se o dispositivo é 110 ou 220 V.

Exemplo: um chuveiro de 4400 W que funcione em 110 Volts vai consumir 4,4 KWh, exatamente o que um chuveiro de 4400 W que funciona em 220 V vai consumir.

Qual a diferença? veja os números abaixo:

Para um chuveiro 4400W x 220V:

Potência: 4400 Watts
Voltagem: 220 Volts
Corrente: 20 Ampéres (Fio 2,5 mm2, disjuntor 25 A)

Para um chuveiro 4400W x 110V:

Potência: 4400 Watts
Voltagem: 110 Volts
Corrente: 40 Ampéres (Fio 4,0 mm2, disjuntor 45 A)

Assim, a diferença é no custo da instalação (fiação e disjuntor) que para 110 Volts é mais caro, pela bitola do fio e corrente mais elevada.

Na sua conta mensal, não afeta em nada usar 110 ou 220 Volts, desde que a fiação seja a correta.